量子计算机研究（下册）——纠错和容错计算

量子信息学是20世纪80年代以量子物理学为基础，融入计算机科学、**信息论形成的新兴交叉学科，主要包括量子通信和量子计算两个分支。《量子计算机研究(下)———纠错和容错计算》是关于量子计算机研究，分上、下两册出版。上册是关于量子计算机原理和物理实现，下册是关于量子纠错和容错量子计算。
　　《量子计算机研究(下)———纠错和容错计算》为下册，内容包括**纠错码理论、CSS量子纠错码、稳定子量子纠错码、无消相干子空间和无消相干子系统理论、容错量子计算、拓扑量子计算等。书后附录内容包括量子力学概要、量子纠错码的群论基础、群表示理论、李群和李代数。

目录
上册
第1章 计算机从**到量子 1
第2章 量子位和量子逻辑门 29
第3章 量子算法 59
第4章 量子计算机动力学模型 107
第5章 离子阱量子计算机 156
第6章 基于半导体量子点的量子计算机 192
第7章 固体超导量子计算机 225
第8章 绝热量子计算 269
第9章 簇态和簇态上的量子计算 285
下册
前言
第10章 **线性纠错码 337
10.1 二元数域上的线性矢量空间 337
10.1.1 矢量空间 337
10.1.2 n长二元串集合作为矢量空间 339
10.2 **线性纠错码概念 340
10.2.1 **线性纠错码 340
10.2.2 有关线性纠错码的几个基本概念 341
10.2.3 码的检错能力 342
10.2.4 码的纠错能力 343
10.3 **线性纠错码理论(Ⅰ) 344
10.3.1 群码 344
10.3.2 生成矩阵和编码 346
10.3.3 系统码 347
10.3.4 校验矩阵 347
10.3.5 关于码距离的定理 349
10.4 **线性纠错码理论(Ⅱ) 350
10.4.1 线性纠错码标准译码表 350
10.4.2 Hamming码 351
10.4.3 指错子 354
10.5 **线性纠错码的例子———7G位码 355
10.5.1 7G位线性纠错码的生成矩阵和校验矩阵 355
10.5.2 C[7，3]，C[7，4]码 356
10.5.3 取核法编码方法 357
10.5.4 C[7，3，4]码和C[7，4，3]码的译码表 359
10.5.5 **线性码码率的Hamming限 360
参考文献 361
第11章 量子纠错和CSS量子纠错码 362
11.1 量子纠错概念 362
11.1.1 量子纠错的特殊性 362
11.1.2 错误离散化 364
11.1.3 Kraus算子展开和*立出错模型 365
11.1.4 量子纠错的基本思想 366
11.1.5 量子纠错码条件 368
11.2 量子纠错码例子———3G位重复码和ShorG9位码 368
11.2.1 纠正1G位反转错的3G位重复码 369
11.2.2 小错的纠正 370
11.2.3 相位错的纠正 371
11.2.4 ShorG9位码 372
11.3 CSS量子纠错码 374
11.3.1 关于**线性纠错码的定理1 375
11.3.2 关于**线性纠错码的定理2 378
11.3.3 CSS量子纠错码的原理和构造 379
11.4 纠正1G位错的7G位量子CSS码 380
11.4.1 纠正1G位错的7G位量子CSS码构造 380
11.4.2 7G位CSS码的编码线路 382
11.4.3 错误诊断和纠错 383
参考文献 384
第12章 稳定子量子纠错码 385
12.1 Pauli算子群 385
12.1.1 Pauli算子群概念 385
12.1.2 Pauli算子群元素的性质 386
12.2 稳定子量子纠错码概念 387
12.2.1 ShorG9位码的再分析 387
12.2.2 稳定子码概念 388
12.2.3 稳定子的生成元和稳定子群阶 389
12.2.4 稳定子S在Gn 中的中心子和正规子 390
12.2.5 稳定子码空间上的逻辑操作 390
12.2.6 稳定子码的指错子 391
12.3 稳定子码空间作为二元域上的线性矢量空间 392
12.3.1 Gn 群算子的双矢量表示 392
12.3.2 双矢量表示中的二元乘积 393
12.3.3 双矢量表示中群算子的对易关系 393
12.3.4 双矢量表示中的稳定子和指错子 394
12.4 稳定子码生成矩阵的标准形式和编码操作？逻辑操作 394
12.4.1 稳定子码生成矩阵的标准形式 395
12.4.2 稳定子码的逻辑算子 396
12.4.3 稳定子码的编码操作 399
12.5 作为稳定子码子类的CSS码 400
12.5.1 7G位CSS码的稳定子 400
12.5.2 7G位CSS码空间 402
12.5.3 7G位CSS码的逻辑操作 403
12.5.4 7G位CSS码的编码线路 403
12.6 5G位稳定子码 405
12.6.1 5G位码的稳定子 405
12.6.2 5G位稳定子码的生成元矩阵的标准形式 406
12.6.3 5G位稳定子码的码字和编码线路 407
12.6.4 5G位稳定子码的指错子 409
参考文献 410
第13章 无消相干子空间和无消相干子系统 411
13.1 无消相干子空间概念？存在无消相干子空间的Hamilton算子条件 412
13.1.1 无消相干子空间概念 412
13.1.2 存在无消相干子空间条件的Hamilton算子描述 413
13.1.3 *立相互作用和集体相互作用 414
13.1.4 只存在相位阻尼情况下的无消相干子空间 415
13.2 多量子位系统的无消相干子空间 416
13.2.1 两量子位系统的无消相干态 417
13.2.2 多量子位系统的无消相干子空间 418
13.2.3 多量子位系统存在无消相干子空间的定理 419
13.3 无消相干子空间条件的算子和表示？系统G环境非对称耦合情况下的无消相干子空间 421
13.3.1 系统G环境相互作用的算子和描述？存在消相干子空间条件 421
13.3.2 系统G环境相互作用不具有完全对称性情况下存在无消相干子空间条件 422
13.3.3 相互作用是Pauli算子群Abel子群的无消相干子空间的例子 426
13.3.4 相互作用是Pauli算子群非Abel子群的无消相干子空间 428
13.3.5 无消相干子空间和量子纠错码 429
13.4 用半群主方程描写系统G环境相互作用系统存在无消相干子空间条件 430
13.4.1 半群主方程描写中无消相干子空间条件 431
13.4.2 Hamilton算子描述和半群主方程描述中无消相干子空间条件的差别 432
13.5 系统G环境相互作用算子代数、无消相干子系统 433
13.5.1 无消相干子空间和无消相干子系统 433
13.5.2 相互作用算子代数 434
13.5.3 完全算子代数的约化———无消相干子系统 435
13.5.4 无消相干子系统作为无消相干子空间 437
13.6 算子量子纠错、量子纠错标准模型 437
13.6.1 量子纠错的标准模型 437
13.6.2 无消相干子系统 438
13.6.3 非幺正噪声超算子作用下的无消相干子系统 439
13.6.4 非幺正量子超算子作用下存在无消相干子系统的例子 443
13.6.5 量子纠错的统一理论———算子量子纠错 445
13.7 寻找无消相干子系统的方法 445
13.7.1 非幺正量子超算子作用下存在无消相干子系统的一个例子 445
13.7.2 无噪声子系统结构和寻找无噪声子系统的方法 448
13.7.3 寻找非幺正量子超算子作用下存在无消相干子系统的例子 450
参考文献 451
第14章 容错量子计算 453
14.1 容错测量和容错恢复 453
14.1.1 错误传播规律和容错操作 454
14.1.2 7G位CSS码的指错子测量 455
14.1.3 对一般稳定子码的指错子测量 458
14.1.4 Knill指错子容错测量方案 458
14.2 容错操作和稳定子码的幺正操作 459
14.2.1 横向操作 459
14.2.2 稳定子码的幺正操作 459
14.3 CSS类稳定子码上的容错计算 463
14.3.1 CSS类稳定子码1G位操作 463
14.3.2 CSS类码的控制非门操作 464
14.3.3 7G位CSS码的容错操作 465
14.4 一般稳定子码上的幺正操作 467
14.4.1 测量和一般稳定子码的幺正操作 468
14.4.2 一般稳定子码的容错一位门操作 469
14.4.3 一般稳定子码的容错控制非门操作 471
14.5 一般稳定子码容错通用逻辑门组？Toffli门 473
14.5.1 Toffoli门诱导的幺正变换 474
14.5.2 实现Toffoli门方法 475
14.5.3 对7G位CSS码Toffoli门的容错执行 476
14.5.4 对于一般稳定子码的容错Toffoli门 478
14.6 量子计算容错阈限定理 480
14.6.1 基本出错率和逻辑出错率 480
14.6.2 级联码 481
14.6.3 量子计算的精确性阈限定理和精确阈限估计 482
14.6.4 关于精确性阈限值研究 484
14.7 SolovayGKitaev定理和迭代算法 485
14.7.1 算子距离、SolovayGKitaev定理 485
14.7.2 两个预备定理 486
14.7.3 SolovayGKitaev定理的证明 489
14.7.4 推广到SU(N)情况时SolovayGKitave定理的证明 491
参考文献 493
第15章 拓扑量子计算 495
15.1 拓扑量子计算的数学基础 495
15.1.1 拓扑学和容错量子计算 495
15.1.2 几何相位(局域相)和拓扑相位 497
15.1.3 空间拓扑性质、任意子存在的可能性 498
15.1.4 任意子的坐标交换和编织操作 500
15.2 辫子群 501
15.2.1 辫子和辫子群 501
15.2.2 辫子群中的基本元素？YangGBaxter关系 503
15.2.3 辫子群的生成元 504
15.2.4 梭编织和梭编织群 506
15.2.5 辫子群的表示 506
15.3 量子Hall物理(Ⅰ) 507
15.3.1 **Hall效应 508
15.3.2 量子Hall效应 509
15.3.3 电子在均匀电磁场中的运动？Landau能级 510
15.3.4 整数量子Hall效应 513
15.4 量子Hall物理(Ⅱ) 513
15.4.1 强磁场中2维电子气、单电子运动的极坐标描写 513
15.4.2 Laughlin波函数 516
15.4.3 分数量子Hall效应的复合粒子理论 518
15.4.4 分数量子Hall态中准粒子激发———任意子 519
15.4.5 物质的拓扑相 521
15.5 任意子的性质(Ⅰ) 522
15.5.1 任意子交换和编织统计、Abel任意子和非Abel任意子 523
15.5.2 熔结规则 524
15.5.3 Ising任意子的熔结规则、编码量子位和简并空间维数 526
15.5.4 Fibonacci任意子的熔结规则、编码量子位和

第10章 **线性纠错码
　　在量子信息中，用来编码信息的量子物理系统称为编码量子系统，简称量子系统(quantumsystem)(量子存储器、量子运算器等)，而与编码量子系统相互作用的其他物理系统或自由度称为环境(enviroment).实际存在的量子系统都不可避免地存在与环境的相互作用，这种相互作用导致量子系统表示信息的量子态蜕化为**态，使利用量子态编码信息，进行信息处理带来的好处损失殆尽，量子信息中的这种蜕化称为消相干(decoherence).消相干*初是指波函数互相叠加的各成分相对相位的衰变或丢失，即态密度矩阵非对角元衰变.现在消相干泛指引起量子态非幺正变化的一切形式，不仅包括直接的相位丢失，还包括波函数强度耗散？态空间漏失等.消相干使编码量子态蜕变为**态，使它表示的量子信息不可逆地泄漏到环境中去，造成量子信息丢失和计算出错.消相干曾一度被认为是量子信息物理实现的*大障碍.
　　1995年，量子纠错方法的提出成为量子计算机理论研究*关键的进展.人们发现，尽管量子态具有非**性质，但消相干出错问题原则上仍然可以像**计算机一样，用检错、纠错方法解决.美国电话电报公司的Shor[1]和英国牛津大学的Steane[2～4]，各自*立地设计了量子纠错方案.量子纠错的基本思想和**纠错相同，即引进冗余，把单个逻辑量子位态(数据)编码在若干个物理量子位构成的量子位块的态上，通过对编码态执行适当的？不破坏逻辑态的测量，诊断出错错误，借助于相关的操作予以纠正.
　　量子纠错码的研究*初是受**纠错码启发的，为了更好地理解量子纠错码的构造，本章介绍纠错码的概念以及**线性纠错码的构造和纠错原理.
　　10.1 二元数域上的线性矢量空间
　　实数域或复数域上的矢量空间是大家熟悉的，本节把矢量空间的概念推广到二元数域，并讨论n 长二元串构成的二元数域上矢量空间的一些特点.
　　10.1.1 矢量空间
　　设F 是个数域(实数域、复数域，特别是二元数域，L 是由一组元素构成的非空集合，且满足以下条件:
　　(1)L 在指定的加法下是一个交换群(见附录A2).
　　(2)L 在数乘下满足封闭性质，即对任意.
　　(3)L 在数乘下满足分配率和结合率，即对任意，有
　　则称L 是一个矢量空间(vectorspace)，其中，L 中的元素称为矢量(vector).
　　L在矢量加法下构成加法群，其中0矢量就是L 的单位元，任意矢量的逆元就是和相反的矢量;L 的封闭性质由上述定义可直接得出.